Pi

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Na matemática, o número é uma proporção numérica definida pela relação entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro; por outras palavras, se uma circunferência tem perímetro e diâmetro , então aquele número é igual a . É representado pela letra grega π. A letra grega π (lê-se: pi), foi adotada para o número a partir da palavra grega para perímetro, "περίμετρος", provavelmente por William Jones em 1706, e popularizada por Leonhard Euler alguns anos mais tarde. Outros nomes para esta constante são constante circular ou número de Ludolph.

Os primeiros a utilizarem a letra grega foram os matemáticos ingleses, mas para designar a circunferência de um círculo. O primeiro a utilizar a definição atual[1] foi William Jones. Entretanto foi só após Leonhard Euler utilizá-la que houve aceitação da notação pela comunidade científica.[2]

O valor de pertence aos números irracionais. Para a maioria dos cálculos simples é comum aproximar por 3,14. Uma boa parte das calculadoras científicas de 8 dígitos aproxima por 3,1415926. Para calcular rotas de navegações interplanetárias, a NASA utiliza (com 15 casas decimais).[3] Para calcular um círculo com 46 bilhões de anos-luz de raio em volta do universo observável, seria suficiente uma aproximação de com 40 casas decimais para garantir precisão de 1 átomo de hidrogênio.[3]

Um engenheiro japonês e um estudante americano de Ciência da computação calcularam, usando um computador com doze núcleos físicos, cinco trilhões de dígitos, o equivalente a 6 terabytes de dados.[4][5]

Aproximação do número pi até a quadrigentésima (400a) casa decimal: = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094.[6]

Desde a antiguidade foram encontradas várias aproximações de para o cálculo da área do círculo.[7] Entre os egípcios, por exemplo no papiro de Ahmes, o valor atribuído a seria embora também seja encontrado o valor [8][9] Na Bíblia (1 Reis 7:23), é possível encontrar que os hebreus utilizavam o valor como aproximação de .[8][10] Entre os babilônios, era comum o uso do valor para calcular a área do círculo, apesar de o valor já ser conhecido como aproximação.[7]

Existem muitas formas de se obter o valor aproximado de através de métodos numéricos. Consideramos que é um número irracional e transcendente, de forma que os métodos de cálculo sempre envolvem aproximações, aproximações sucessivas e/ou séries infinitas de somas, multiplicações e divisões.

A primeira tentativa rigorosa de encontrar deve-se a um dos mais conhecidos matemáticos da antiguidade, Arquimedes. Pela construção de polígonos inscrito e circunscrito de 96 lados, encontrou que pi seria um valor entre 223/71 e 22/7, ou seja, estaria aproximadamente entre 3,1408 e 3,1429. Tal método é o chamado método clássico para cálculo de pi.[11]

Ptolomeu, que viveu em Alexandria aproximadamente no século III d.C., calculou pi tomando por base um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio. Seu valor foi aproximadamente 3,1416. Considerando o que sabemos atualmente, sua aproximação foi bem melhor que a de Arquimedes.

A "busca" pelo valor de chegou até à China, onde Liu Hui, um copiador de livros, conseguiu obter o valor 3,14159 com um polígono de 3 072 lados. Mas só no final do século V que o matemático Tsu Ch'ung Chih chegou a uma aproximação melhor: entre 3,1415926 e 3,1415927.

Nesta mesma época, o matemático hindu Aryabhata deixou registrado em versos num livro a seguinte afirmação: "Some-se 4 a 100, multiplique-se por 8 e some-se 62 000. O resultado é aproximadamente uma circunferência de diâmetro 20 000".

Analisando matematicamente e considerando a equação citada anteriormente de

O valor de portanto, seria 3,1416. Obviamente, quanto maior o número de casas decimais, melhor a aproximação do valor real de pi. Mas devemos considerar que, na época, isso não era algo fácil de se calcular.

O maior cálculo de casas decimais até o século XV foi 3,1415926535897932 feito pelo matemático árabe Ghiyath al-Kashi. O matemático holandês Ludolph van Ceulen, no final do século XVI, calculou um valor de com 35 casas decimais, começando com um polígono de 15 lados, dobrando o número de lados 37 vezes, e, logo em seguida, aumentando o número de lados. Por curiosidade, a sua esposa mandou gravar no seu túmulo o valor de com as supracitadas 35 casas decimais.

Hoje em dia é relativamente mais fácil, com os computadores modernos que calculam até trilhões de casas decimais para

Uma aproximação de que apresenta diferença de aproximadamente é a seguinte:

Baseado no método de Arquimedes é possível formular uma representação matemática para o cálculo de pi, eficiente para um polígono de qualquer número de lados.

Considerando um polígono de n lados e raio 1, temos a medida do lado expressa pela lei dos cossenos:

Temos formado um triângulo isósceles, de base e lados :

O ângulo do triângulo isósceles no centro do polígono é expresso por 360º dividido pelo número de lados , portanto:

Dessa forma, o perímetro do polígono será de:

Como é representado pelo perímetro do polígono dividido pelo seu diâmetro, temos:

Aplicando transformações trigonométricas, a fórmula acima pode ser simplificada para:

Outro método interessante para o cálculo de pode ser realizado através de Monte Carlo utilizando-se a estatística. Nesse método são sorteados aleatoriamente pontos num quadrado compreendido entre as coordenadas e Em seguida calcula-se a distância dos pontos sorteados até a origem . pode ser aproximado através do número de pontos inscritos na circunferência de raio 1 em relação ao total de pontos sorteados no quadrado de lado 1.

No exemplo ao lado, .

Outro método que utiliza a estatística de Monte Carlo para o cálculo de é conhecido como Agulha de Buffon, proposto no século XVIII pelo naturalista francês Georges de Buffon.

O francês François Viète, estudando o método de Arquimedes, desenvolveu a seguinte série para o cálculo de em 1593:

O matemático John Wallis, desenvolveu outra série infinita em 1655:

Outra série conhecida para o cálculo de foi desenvolvida por Leibniz em 1682, utilizando-se da série de Taylor para a função , tomando-se e, por conseguinte, .

Johann Heinrich Lambert publicou, em 1770, uma série na forma de divisões infinitas:

Um dos estudos dos métodos de cálculo numérico é obter a raiz de uma função. Quando consideramos a função sabemos que Os principais métodos do calculo numérico para a obtenção da raiz da função podem incluir uma busca binária no intervalo onde se sabemos que e então podemos aprimorar o intervalo para:

Partindo-se do intervalo esse método permite refiná-lo sucessivamente para os intervalos

e assim sucessivamente.

Ainda no cálculo numérico, o método de Newton-Raphson, mais eficiente que uma busca binária permite obter aproximações sucessivas para a raiz da função utilizando um ponto inicial exigindo que conheçamos

Tomando-se e considerando-se que por Newton-Rapson

temos a seguinte série para

Um método otimizado de cálculo numérico para o cálculo de através das raízes de uma função pode ser obtido pela simplificação

pois na proximidade de [12]

Notemos que nesses algoritmos de cálculo numérico considera-se como transcendental, uma vez que a função não pode ser escrita através de um polinômio finito de coeficientes racionais; a função é obtida através da expansão da série de Taylor.

O algoritmo de Gauss-Legendre,[13] que é um método de cálculo numérico de aproximações sucessivas,[14] foi utilizado por Yasumasa Kanada para obter o recorde mundial no cálculo de casas decimais de pi em 2002.[15]

Em 1995, David Harold Bailey, em colaboração com Peter Borwein e Simon Plouffe, descobriu uma fórmula de cálculo de , uma soma infinita (frequentemente chamada fórmula BBP):

Essa fórmula permite calcular facilmente a enésima decimal binária ou hexadecimal de sem ter que calcular as decimais precedentes. O sítio de Bailey contém sua derivação e implementação em diversas linguagens de programação. Graças a uma fórmula derivada da fórmula BBP, o 4 000 000 000 000 000° algarismo de em base 2 foi obtido em 2001.

Várias relações matemáticas dependem do conhecimento da constante as mais conhecidas a nível didático são:

Como a superfície da esfera é , também está nas fórmulas gravitacionais e do eletromagnetismo da física .

Johann Heinrich Lambert demonstrou em 1761 que se é racional e diferente de , então nem nem podem ser racionais. Como , segue-se que é irracional, e portanto que é irracional.[16][17]

Lindemann provou em 1882 que é transcendente utilizando o método utilizado por Hermite para provar que e é transcendente. Isto significa que não pode ser a solução de nenhuma equação algébrica de coeficientes racionais. A transcendência de estabelece a impossibilidade de se resolver o problema da quadratura do círculo: é impossível construir, somente com régua e um compasso euclideanos, um quadrado cuja área seja rigorosamente igual à área de um determinado círculo.

A questão em aberto mais importante é a de saber se é um número normal, isto é, se qualquer sucessão de algarismos aparece nas decimais de como seria de se esperar em uma sequência infinita e completamente aleatória de algarismos. Isso deveria ser verdadeiro em qualquer base, e não somente na base 10.

Também não se sabe que algarismos aparecem um número infinito de vezes na constituição de

Bailey e Crandall demonstraram em 2000 que a existência da fórmula Bailey-Borwein-Plouffe mencionada acima e de fórmulas similares implicam a normalidade de em base 2.

Na tabela a seguir encontram-se listadas distintas precisões alcançadas no cálculo do valor de pi, permitindo ver a evolução ao longo do período histórico.[18]

A letra grega π minúscula é usada como símbolo do Pi
Uma circunferência de diâmetro 1 tem perímetro
Método clássico para o cálculo de
O perímetro da circunferência é 3,1416... vezes maior que o diâmetro, sendo a razão perímetro/diâmetro o (pi)